Theorem unopf1ot 9835

Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto.

Assertion

Ref	Expression
unopf1ot	⊢ (T ∈ UniOp → T: ℋ –1-1-onto→ ℋ )

Proof of Theorem unopf1ot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunopt 9794	. . . . . . 7 ⊢ (T ∈ UniOp ↔ (T: ℋ –onto→ ℋ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ ((T ‘x) ·ih (T ‘y)) = (x ·ih y)))
2	1	pm3.26bi 322	. . . . . 6 ⊢ (T ∈ UniOp → T: ℋ –onto→ ℋ )
3		fof 3678	. . . . . 6 ⊢ (T: ℋ –onto→ ℋ → T: ℋ –→ ℋ )
4	2, 3	syl 10	. . . . 5 ⊢ (T ∈ UniOp → T: ℋ –→ ℋ )
5		unopt 9834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ x ∈ ℋ ) → ((T ‘x) ·ih (T ‘x)) = (x ·ih x))
6	5	3anidm23 886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ) → ((T ‘x) ·ih (T ‘x)) = (x ·ih x))
7	6	3adant3 801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘x) ·ih (T ‘x)) = (x ·ih x))
8		unopt 9834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ y ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘y) ·ih (T ‘y)) = (y ·ih y))
9	8	3anidm23 886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘y) ·ih (T ‘y)) = (y ·ih y))
10	9	3adant2 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘y) ·ih (T ‘y)) = (y ·ih y))
11	7, 10	opreq12d 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (((T ‘x) ·ih (T ‘x)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘y))) = ((x ·ih x) + (y ·ih y)))
12		unopt 9834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘x) ·ih (T ‘y)) = (x ·ih y))
13		unopt 9834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ y ∈ ℋ ⋀ x ∈ ℋ ) → ((T ‘y) ·ih (T ‘x)) = (y ·ih x))
14	13	3com23 841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘y) ·ih (T ‘x)) = (y ·ih x))
15	12, 14	opreq12d 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (((T ‘x) ·ih (T ‘y)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘x))) = ((x ·ih y) + (y ·ih x)))
16	11, 15	opreq12d 3984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((((T ‘x) ·ih (T ‘x)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘y))) − (((T ‘x) ·ih (T ‘y)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘x)))) = (((x ·ih x) + (y ·ih y)) − ((x ·ih y) + (y ·ih x))))
17	16	3expb 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((((T ‘x) ·ih (T ‘x)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘y))) − (((T ‘x) ·ih (T ‘y)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘x)))) = (((x ·ih x) + (y ·ih y)) − ((x ·ih y) + (y ·ih x))))
18		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T: ℋ –→ ℋ ⋀ x ∈ ℋ ) → (T ‘x) ∈ ℋ )
19		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T: ℋ –→ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (T ‘y) ∈ ℋ )
20	18, 19	anim12i 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((T: ℋ –→ ℋ ⋀ x ∈ ℋ ) ⋀ (T: ℋ –→ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ))
21	20	anandis 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T: ℋ –→ ℋ ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ))
22	21, 4	sylan 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ))
23		normlem9at 8982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ) → (((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))) = ((((T ‘x) ·ih (T ‘x)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘y))) − (((T ‘x) ·ih (T ‘y)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘x)))))
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → (((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))) = ((((T ‘x) ·ih (T ‘x)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘y))) − (((T ‘x) ·ih (T ‘y)) + ((T ‘y) ·ih (T ‘x)))))
25		normlem9at 8982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((x −h y) ·ih (x −h y)) = (((x ·ih x) + (y ·ih y)) − ((x ·ih y) + (y ·ih x))))
26	25	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((x −h y) ·ih (x −h y)) = (((x ·ih x) + (y ·ih y)) − ((x ·ih y) + (y ·ih x))))
27	17, 24, 26	3eqtr4rd 1521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((x −h y) ·ih (x −h y)) = (((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))))
28	27	eqeq1d 1486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → (((x −h y) ·ih (x −h y)) = 0 ↔ (((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))) = 0))
29		hvsubclt 8882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (x −h y) ∈ ℋ )
30		his6t 8960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x −h y) ∈ ℋ → (((x −h y) ·ih (x −h y)) = 0 ↔ (x −h y) = 0h))
31	29, 30	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (((x −h y) ·ih (x −h y)) = 0 ↔ (x −h y) = 0h))
32		hvsubeq0t 8930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((x −h y) = 0h ↔ x = y))
33	31, 32	bitrd 530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (((x −h y) ·ih (x −h y)) = 0 ↔ x = y))
34	33	adantl 390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → (((x −h y) ·ih (x −h y)) = 0 ↔ x = y))
35		hvsubclt 8882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ) → ((T ‘x) −h (T ‘y)) ∈ ℋ )
36		his6t 8960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((T ‘x) −h (T ‘y)) ∈ ℋ → ((((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))) = 0 ↔ ((T ‘x) −h (T ‘y)) = 0h))
37	35, 36	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ) → ((((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))) = 0 ↔ ((T ‘x) −h (T ‘y)) = 0h))
38		hvsubeq0t 8930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ) → (((T ‘x) −h (T ‘y)) = 0h ↔ (T ‘x) = (T ‘y)))
39	37, 38	bitrd 530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((T ‘x) ∈ ℋ ⋀ (T ‘y) ∈ ℋ ) → ((((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))) = 0 ↔ (T ‘x) = (T ‘y)))
40	22, 39	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((((T ‘x) −h (T ‘y)) ·ih ((T ‘x) −h (T ‘y))) = 0 ↔ (T ‘x) = (T ‘y)))
41	28, 34, 40	3bitr3rd 551	. . . . . . . 8 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘x) = (T ‘y) ↔ x = y))
42	41	biimpd 153	. . . . . . 7 ⊢ ((T ∈ UniOp ⋀ (x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘x) = (T ‘y) → x = y))
43	42	ex 373	. . . . . 6 ⊢ (T ∈ UniOp → ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘x) = (T ‘y) → x = y)))
44	43	r19.21aivv 1723	. . . . 5 ⊢ (T ∈ UniOp → ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ ((T ‘x) = (T ‘y) → x = y))
45	4, 44	jca 288	. . . 4 ⊢ (T ∈ UniOp → (T: ℋ –→ ℋ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ ((T ‘x) = (T ‘y) → x = y)))
46		f1fv 3880	. . . 4 ⊢ (T: ℋ –1-1→ ℋ ↔ (T: ℋ –→ ℋ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ ((T ‘x) = (T ‘y) → x = y)))
47	45, 46	sylibr 200	. . 3 ⊢ (T ∈ UniOp → T: ℋ –1-1→ ℋ )
48	47, 2	jca 288	. 2 ⊢ (T ∈ UniOp → (T: ℋ –1-1→ ℋ ⋀ T: ℋ –onto→ ℋ ))
49		df-f1o 3203	. 2 ⊢ (T: ℋ –1-1-onto→ ℋ ↔ (T: ℋ –1-1→ ℋ ⋀ T: ℋ –onto→ ℋ ))
50	48, 49	sylibr 200	1 ⊢ (T ∈ UniOp → T: ℋ –1-1-onto→ ℋ )

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  –→wf 3184  –1-1→wf1 3185  –onto→wfo 3186  –1-1-onto→wf1o 3187   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  0cc0 5246   + caddc 5249   − cmin 5304   ℋ chil 8783  0_hc0v 8786   −_h cmv 8787   ·_ih csp 8788  UniOpcuo 8813

This theorem is referenced by:  unopnormt 9836  cnvunopt 9837  unopadjt 9838  unoplint 9839  counopt 9840  unopbdt 9935

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-hvsub 8835  df-unop 9764

Copyright terms: Public domain