Theorem uzaddclt 6450

Description: Addition closure law for a set of upper integers.

Assertion

Ref	Expression
uzaddclt	⊢ ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ K ∈ ℕ0) → (N + K) ∈ (ℤ≥ ‘M))

Proof of Theorem uzaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		axaddass 5289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((N ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℂ ⋀ 1 ∈ ℂ) → ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
3	1, 2	mp3an3 907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((N ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℂ) → ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
4		eluzelz 6424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → N ∈ ℤ)
5		zcnt 6142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (N ∈ ℤ → N ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → N ∈ ℂ)
7		nn0cnt 6111	. . . . . . . . 9 ⊢ (k ∈ ℕ0 → k ∈ ℂ)
8	3, 6, 7	syl2an 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ k ∈ ℕ0) → ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
9	8	ancoms 438	. . . . . . 7 ⊢ ((k ∈ ℕ0 ⋀ N ∈ (ℤ≥ ‘M)) → ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
10	9	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ (((k ∈ ℕ0 ⋀ N ∈ (ℤ≥ ‘M)) ⋀ (N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M)) → ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
11		peano2uz 6448	. . . . . . 7 ⊢ ((N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M) → ((N + k) + 1) ∈ (ℤ≥ ‘M))
12	11	adantl 390	. . . . . 6 ⊢ (((k ∈ ℕ0 ⋀ N ∈ (ℤ≥ ‘M)) ⋀ (N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M)) → ((N + k) + 1) ∈ (ℤ≥ ‘M))
13	10, 12	eqeltrrd 1552	. . . . 5 ⊢ (((k ∈ ℕ0 ⋀ N ∈ (ℤ≥ ‘M)) ⋀ (N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M)) → (N + (k + 1)) ∈ (ℤ≥ ‘M))
14	13	exp31 378	. . . 4 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → ((N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + (k + 1)) ∈ (ℤ≥ ‘M))))
15	14	a2d 13	. . 3 ⊢ (k ∈ ℕ0 → ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M)) → (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + (k + 1)) ∈ (ℤ≥ ‘M))))
16		ax0id 5293	. . . . . 6 ⊢ (N ∈ ℂ → (N + 0) = N)
17	6, 16	syl 10	. . . . 5 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + 0) = N)
18	17	eleq1d 1543	. . . 4 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → ((N + 0) ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ N ∈ (ℤ≥ ‘M)))
19	18	ibir 595	. . 3 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + 0) ∈ (ℤ≥ ‘M))
20		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (j = 0 → (N + j) = (N + 0))
21	20	eleq1d 1543	. . . 4 ⊢ (j = 0 → ((N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ (N + 0) ∈ (ℤ≥ ‘M)))
22	21	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (j = 0 → ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M)) ↔ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + 0) ∈ (ℤ≥ ‘M))))
23		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (j = k → (N + j) = (N + k))
24	23	eleq1d 1543	. . . 4 ⊢ (j = k → ((N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ (N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M)))
25	24	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (j = k → ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M)) ↔ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + k) ∈ (ℤ≥ ‘M))))
26		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (j = (k + 1) → (N + j) = (N + (k + 1)))
27	26	eleq1d 1543	. . . 4 ⊢ (j = (k + 1) → ((N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ (N + (k + 1)) ∈ (ℤ≥ ‘M)))
28	27	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (j = (k + 1) → ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M)) ↔ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + (k + 1)) ∈ (ℤ≥ ‘M))))
29		opreq2 3975	. . . . 5 ⊢ (j = K → (N + j) = (N + K))
30	29	eleq1d 1543	. . . 4 ⊢ (j = K → ((N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ (N + K) ∈ (ℤ≥ ‘M)))
31	30	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (j = K → ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + j) ∈ (ℤ≥ ‘M)) ↔ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + K) ∈ (ℤ≥ ‘M))))
32	15, 19, 22, 25, 28, 31	nn0indALT 6215	. 2 ⊢ (K ∈ ℕ0 → (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → (N + K) ∈ (ℤ≥ ‘M)))
33	32	impcom 351	1 ⊢ ((N ∈ (ℤ≥ ‘M) ⋀ K ∈ ℕ0) → (N + K) ∈ (ℤ≥ ‘M))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249  ℕ₀cn0 5309  ℤcz 5310  ℤ_≥cuz 6418

This theorem is referenced by:  fsum4 7025

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain