Theorem uzind4s 6453

Description: Induction on the set of upper integers that starts at an integer M, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4s.1	⊢ (M ∈ ℤ → [M / k]φ)
uzind4s.2	⊢ (k ∈ (ℤ≥ ‘M) → (φ → [(k + 1) / k]φ))

Assertion

Ref	Expression
uzind4s	⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → [N / k]φ)

Distinct variable group:   k,M

Proof of Theorem uzind4s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsbcq 1946	. 2 ⊢ (j = M → ([j / k]φ ↔ [M / k]φ))
2		dfsbcq 1946	. 2 ⊢ (j = m → ([j / k]φ ↔ [m / k]φ))
3		dfsbcq 1946	. 2 ⊢ (j = (m + 1) → ([j / k]φ ↔ [(m + 1) / k]φ))
4		dfsbcq 1946	. 2 ⊢ (j = N → ([j / k]φ ↔ [N / k]φ))
5		uzind4s.1	. 2 ⊢ (M ∈ ℤ → [M / k]φ)
6		ax-17 973	. . . 4 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → ∀k m ∈ (ℤ≥ ‘M))
7		visset 1816	. . . . . 6 ⊢ m ∈ V
8	7	hbsbc1v 1953	. . . . 5 ⊢ ([m / k]φ → ∀k[m / k]φ)
9		oprex 3989	. . . . . 6 ⊢ (m + 1) ∈ V
10	9	hbsbc1v 1953	. . . . 5 ⊢ ([(m + 1) / k]φ → ∀k[(m + 1) / k]φ)
11	8, 10	hbim 1009	. . . 4 ⊢ (([m / k]φ → [(m + 1) / k]φ) → ∀k([m / k]φ → [(m + 1) / k]φ))
12	6, 11	hbim 1009	. . 3 ⊢ ((m ∈ (ℤ≥ ‘M) → ([m / k]φ → [(m + 1) / k]φ)) → ∀k(m ∈ (ℤ≥ ‘M) → ([m / k]φ → [(m + 1) / k]φ)))
13		eleq1 1537	. . . 4 ⊢ (k = m → (k ∈ (ℤ≥ ‘M) ↔ m ∈ (ℤ≥ ‘M)))
14		sbequ12 1183	. . . . 5 ⊢ (k = m → (φ ↔ [m / k]φ))
15		opreq1 3974	. . . . . 6 ⊢ (k = m → (k + 1) = (m + 1))
16		dfsbcq 1946	. . . . . 6 ⊢ ((k + 1) = (m + 1) → ([(k + 1) / k]φ ↔ [(m + 1) / k]φ))
17	15, 16	syl 10	. . . . 5 ⊢ (k = m → ([(k + 1) / k]φ ↔ [(m + 1) / k]φ))
18	14, 17	imbi12d 628	. . . 4 ⊢ (k = m → ((φ → [(k + 1) / k]φ) ↔ ([m / k]φ → [(m + 1) / k]φ)))
19	13, 18	imbi12d 628	. . 3 ⊢ (k = m → ((k ∈ (ℤ≥ ‘M) → (φ → [(k + 1) / k]φ)) ↔ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → ([m / k]φ → [(m + 1) / k]φ))))
20		uzind4s.2	. . 3 ⊢ (k ∈ (ℤ≥ ‘M) → (φ → [(k + 1) / k]φ))
21	12, 19, 20	chvar 1169	. 2 ⊢ (m ∈ (ℤ≥ ‘M) → ([m / k]φ → [(m + 1) / k]φ))
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	uzind4 6451	1 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → [N / k]φ)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   = wceq 958   ∈ wcel 960  [wsbc 1172   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  1c1 5247   + caddc 5249  ℤcz 5310  ℤ_≥cuz 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain