Theorem uzrdgval 6303

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either ℕ or ℕ₀) with characteristic function F and initial value A. Normally F is a function on the partition, and A is a member of the partition. See also comment in om2uz0 6296.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ C ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ G = (rec({⟨x, y⟩∣y = (x + 1)}, C) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
uzrdgval	⊢ (B ∈ {z ∈ ℤ∣C ≤ z} → ((rec(F, A) ∘ ◡G) ‘B) = (rec(F, A) ‘(◡G ‘B)))

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   z,A   z,B   x,C,y,z

Proof of Theorem uzrdgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . . 5 ⊢ C ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . . . 5 ⊢ G = (rec({⟨x, y⟩∣y = (x + 1)}, C) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzran 6301	. . . 4 ⊢ ran G = {z ∈ ℤ∣C ≤ z}
4		df-rn 3195	. . . 4 ⊢ ran G = dom ◡ G
5	3, 4	eqtr3 1500	. . 3 ⊢ {z ∈ ℤ∣C ≤ z} = dom ◡ G
6	5	eleq2i 1541	. 2 ⊢ (B ∈ {z ∈ ℤ∣C ≤ z} ↔ B ∈ dom ◡ G)
7		rdgfnon 3945	. . . 4 ⊢ rec(F, A) Fn On
8		fnfun 3591	. . . 4 ⊢ (rec(F, A) Fn On → Fun rec(F, A))
9	7, 8	ax-mp 7	. . 3 ⊢ Fun rec(F, A)
10	1, 2	om2uzf1o 6302	. . . . 5 ⊢ G:ω–1-1-onto→{z ∈ ℤ∣C ≤ z}
11		f1ocnv 3707	. . . . 5 ⊢ (G:ω–1-1-onto→{z ∈ ℤ∣C ≤ z} → ◡G:{z ∈ ℤ∣C ≤ z}–1-1-onto→ω)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ◡G:{z ∈ ℤ∣C ≤ z}–1-1-onto→ω
13		f1ofun 3697	. . . 4 ⊢ (◡G:{z ∈ ℤ∣C ≤ z}–1-1-onto→ω → Fun ◡G)
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 ⊢ Fun ◡G
15		fvco 3780	. . 3 ⊢ ((Fun rec(F, A) ⋀ Fun ◡G ⋀ B ∈ dom ◡ G) → ((rec(F, A) ∘ ◡G) ‘B) = (rec(F, A) ‘(◡G ‘B)))
16	9, 14, 15	mp3an12 908	. 2 ⊢ (B ∈ dom ◡ G → ((rec(F, A) ∘ ◡G) ‘B) = (rec(F, A) ‘(◡G ‘B)))
17	6, 16	sylbi 199	1 ⊢ (B ∈ {z ∈ ℤ∣C ≤ z} → ((rec(F, A) ∘ ◡G) ‘B) = (rec(F, A) ‘(◡G ‘B)))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 958   ∈ wcel 960  {crab 1651   class class class wbr 2624  {copab 2671  Oncon0 2954  ωcom 3137  ^◡ccnv 3175  dom cdm 3176  ran crn 3177   ↾ cres 3178   ∘ ccom 3180  Fun wfun 3182   Fn wfn 3183  –1-1-onto→wf1o 3187   ‘cfv 3188  reccrdg 3937  (class class class)co 3969  1c1 5247   + caddc 5249   ≤ cle 5307  ℤcz 5310

This theorem is referenced by:  uzrdgini 6304  uzrdgsuc 6305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain