Theorem uzwo3lem2 6219

Description: Lemma for uzwo3 6220.

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo3lem.1	⊢ R = {z ∈ ℤ∣B ≤ z}
uzwo3lem.2	⊢ S = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v}

Assertion

Ref	Expression
uzwo3lem2	⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ (A ⊆ R ⋀ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable groups:   z,v,B   x,y,v,R   y,z,x,w,v   x,A,y   y,S   w,R

Proof of Theorem uzwo3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2074	. . . 4 ⊢ (A ⊆ R → (R ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} → A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t}))
2		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = t → (S ≤ y ↔ S ≤ t))
3	2	rcla4v 1876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (t ∈ R → (∀y ∈ R S ≤ y → S ≤ t))
4		uzwo3lem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R = {z ∈ ℤ∣B ≤ z}
5	4	uzwo3lem1 6218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℝ → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y)
6		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = w → (x ≤ y ↔ w ≤ y))
7	6	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = w → (∀y ∈ R x ≤ y ↔ ∀y ∈ R w ≤ y))
8		breq2 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = v → (w ≤ y ↔ w ≤ v))
9	8	cbvralv 1803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y ∈ R w ≤ y ↔ ∀v ∈ R w ≤ v)
10	7, 9	syl6bb 538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = w → (∀y ∈ R x ≤ y ↔ ∀v ∈ R w ≤ v))
11		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} → (x ≤ y ↔ ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y))
12	11	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} → (∀y ∈ R x ≤ y ↔ ∀y ∈ R ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y))
13	10, 12	reuuni3 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y → ∀y ∈ R ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y)
14		uzwo3lem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ S = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v}
15	14	breq1i 2631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (S ≤ y ↔ ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y)
16	15	ralbii 1670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y ∈ R S ≤ y ↔ ∀y ∈ R ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y)
17	13, 16	sylibr 200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y → ∀y ∈ R S ≤ y)
18	5, 17	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℝ → ∀y ∈ R S ≤ y)
19	3, 18	syl5com 52	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℝ → (t ∈ R → S ≤ t))
20		breq2 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = t → (B ≤ z ↔ B ≤ t))
21	20, 4	elrab2 1910	. . . . . . . . 9 ⊢ (t ∈ R ↔ (t ∈ ℤ ⋀ B ≤ t))
22	19, 21	syl5ibr 207	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → ((t ∈ ℤ ⋀ B ≤ t) → S ≤ t))
23	22	exp3a 376	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℝ → (t ∈ ℤ → (B ≤ t → S ≤ t)))
24	23	r19.21aiv 1716	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℝ → ∀t ∈ ℤ (B ≤ t → S ≤ t))
25		ss2rab 2126	. . . . . 6 ⊢ ({t ∈ ℤ∣B ≤ t} ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} ↔ ∀t ∈ ℤ (B ≤ t → S ≤ t))
26	24, 25	sylibr 200	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℝ → {t ∈ ℤ∣B ≤ t} ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t})
27	20	cbvrabv 1914	. . . . . 6 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} = {t ∈ ℤ∣B ≤ t}
28	4, 27	eqtr 1498	. . . . 5 ⊢ R = {t ∈ ℤ∣B ≤ t}
29	26, 28	syl5ss 2108	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℝ → R ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t})
30	1, 29	syl5com 52	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → (A ⊆ R → A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t}))
31	4	uzwo3lem1 6218	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℝ → ∃!w ∈ R ∀v ∈ R w ≤ v)
32		reucl 2891	. . . . . 6 ⊢ (∃!w ∈ R ∀v ∈ R w ≤ v → ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ∈ R)
33	31, 32	syl 10	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℝ → ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ∈ R)
34	33, 14	syl5eqel 1555	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℝ → S ∈ R)
35		breq2 2628	. . . . . 6 ⊢ (t = S → (B ≤ t ↔ B ≤ S))
36	35, 28	elrab2 1910	. . . . 5 ⊢ (S ∈ R ↔ (S ∈ ℤ ⋀ B ≤ S))
37	36	pm3.26bi 322	. . . 4 ⊢ (S ∈ R → S ∈ ℤ)
38		uzwo5OLD 6213	. . . . 5 ⊢ ((S ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} ⋀ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
39	38	exp32 379	. . . 4 ⊢ (S ∈ ℤ → (A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} → (A ≠ ∅ → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)))
40	34, 37, 39	3syl 20	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → (A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} → (A ≠ ∅ → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)))
41	30, 40	syld 27	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ → (A ⊆ R → (A ≠ ∅ → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)))
42	41	imp32 363	1 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ (A ⊆ R ⋀ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∀wral 1648  ∃!wreu 1650  {crab 1651   ⊆ wss 2050  ∅c0 2283  ∪cuni 2507   class class class wbr 2624  ℝcr 5245   ≤ cle 5307  ℤcz 5310

This theorem is referenced by:  uzwo3 6220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain