Theorem uzwo4OLD 6212

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of the upper integers has a least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo4OLD	⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ A ≠ ∅)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,z,B

Proof of Theorem uzwo4OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = B → (v ≤ y ↔ B ≤ y))
2	1	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = B → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A B ≤ y))
3	2	imbi2d 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = B → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A B ≤ y)))
4		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = u → (v ≤ y ↔ u ≤ y))
5	4	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = u → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A u ≤ y))
6	5	imbi2d 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = u → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A u ≤ y)))
7		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = (u + 1) → (v ≤ y ↔ (u + 1) ≤ y))
8	7	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = (u + 1) → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))
9	8	imbi2d 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = (u + 1) → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
10		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = w → (v ≤ y ↔ w ≤ y))
11	10	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = w → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
12	11	imbi2d 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = w → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A w ≤ y)))
13		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (y ∈ A → y ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}))
14		breq2 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = y → (B ≤ z ↔ B ≤ y))
15	14	elrab 1908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ↔ (y ∈ ℤ ⋀ B ≤ y))
16	15	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → B ≤ y)
17	13, 16	syl6 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (y ∈ A → B ≤ y))
18	17	r19.21aiv 1716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ∀y ∈ A B ≤ y)
19	18	adantr 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A B ≤ y)
20		ssrab2 2134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℤ
21	20	sseli 2068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → u ∈ ℤ)
22		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (x = u → (x ≤ y ↔ u ≤ y))
23	22	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (x = u → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A u ≤ y))
24	23	rcla4ev 1880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((u ∈ A ⋀ ∀y ∈ A u ≤ y) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
25	24	expcom 374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀y ∈ A u ≤ y → (u ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
26	25	con3d 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀y ∈ A u ≤ y → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ u ∈ A))
27	26	com12 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A u ≤ y → ¬ u ∈ A))
28		letri3t 5529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((u ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (u = y ↔ (u ≤ y ⋀ y ≤ u)))
29		zret 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (u ∈ ℤ → u ∈ ℝ)
30		zret 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℝ)
31	28, 29, 30	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℤ) → (u = y ↔ (u ≤ y ⋀ y ≤ u)))
32		zleltp1t 6184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((y ∈ ℤ ⋀ u ∈ ℤ) → (y ≤ u ↔ y < (u + 1)))
33		ltnlet 5523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ (u + 1) ∈ ℝ) → (y < (u + 1) ↔ ¬ (u + 1) ≤ y))
34		peano2re 5448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (u ∈ ℝ → (u + 1) ∈ ℝ)
35	29, 34	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (u ∈ ℤ → (u + 1) ∈ ℝ)
36	33, 30, 35	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((y ∈ ℤ ⋀ u ∈ ℤ) → (y < (u + 1) ↔ ¬ (u + 1) ≤ y))
37	32, 36	bitrd 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((y ∈ ℤ ⋀ u ∈ ℤ) → (y ≤ u ↔ ¬ (u + 1) ≤ y))
38	37	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℤ) → (y ≤ u ↔ ¬ (u + 1) ≤ y))
39	38	anbi2d 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℤ) → ((u ≤ y ⋀ y ≤ u) ↔ (u ≤ y ⋀ ¬ (u + 1) ≤ y)))
40	31, 39	bitrd 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℤ) → (u = y ↔ (u ≤ y ⋀ ¬ (u + 1) ≤ y)))
41		ssel2 2067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((A ⊆ ℤ ⋀ y ∈ A) → y ∈ ℤ)
42	40, 41	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ ℤ ⋀ y ∈ A)) → (u = y ↔ (u ≤ y ⋀ ¬ (u + 1) ≤ y)))
43		eleq1a 1546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (y ∈ A → (u = y → u ∈ A))
44	43	ad2antll 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ ℤ ⋀ y ∈ A)) → (u = y → u ∈ A))
45	42, 44	sylbird 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ ℤ ⋀ y ∈ A)) → ((u ≤ y ⋀ ¬ (u + 1) ≤ y) → u ∈ A))
46	45	exp3a 376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ ℤ ⋀ y ∈ A)) → (u ≤ y → (¬ (u + 1) ≤ y → u ∈ A)))
47		con1 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ (u + 1) ≤ y → u ∈ A) → (¬ u ∈ A → (u + 1) ≤ y))
48	46, 47	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ ℤ ⋀ y ∈ A)) → (u ≤ y → (¬ u ∈ A → (u + 1) ≤ y)))
49	48	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ ℤ ⋀ y ∈ A)) → (¬ u ∈ A → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y)))
50	49	exp32 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (u ∈ ℤ → (A ⊆ ℤ → (y ∈ A → (¬ u ∈ A → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y)))))
51	50	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (u ∈ ℤ → (A ⊆ ℤ → (¬ u ∈ A → (y ∈ A → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y)))))
52	51	imp41 368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((u ∈ ℤ ⋀ A ⊆ ℤ) ⋀ ¬ u ∈ A) ⋀ y ∈ A) → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y))
53	52	r19.20dva 1712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((u ∈ ℤ ⋀ A ⊆ ℤ) ⋀ ¬ u ∈ A) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))
54	53	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((u ∈ ℤ ⋀ A ⊆ ℤ) → (¬ u ∈ A → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
55	27, 54	sylan9r 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((u ∈ ℤ ⋀ A ⊆ ℤ) ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
56	55	pm2.43d 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((u ∈ ℤ ⋀ A ⊆ ℤ) ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))
57	56	exp31 378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (u ∈ ℤ → (A ⊆ ℤ → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))))
58	57	imp3a 361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u ∈ ℤ → ((A ⊆ ℤ ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
59	21, 58	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ ℤ ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
60		sstr 2075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℤ) → A ⊆ ℤ)
61	20, 60	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → A ⊆ ℤ)
62	59, 61	sylani 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
63	62	a2d 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A u ≤ y) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
64	63	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A u ≤ y) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
65	3, 6, 9, 12, 19, 64	uzind3OLD 6211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A w ≤ y))
66		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = w → (x ≤ y ↔ w ≤ y))
67	66	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = w → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
68	67	rcla4ev 1880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ∈ A ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
69	68	expcom 374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ A w ≤ y → (w ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
70	69	con3d 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y ∈ A w ≤ y → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ w ∈ A))
71	70	com12 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A w ≤ y → ¬ w ∈ A))
72	71	adantl 390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A w ≤ y → ¬ w ∈ A))
73	65, 72	sylcom 51	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
74	73	ex 373	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℤ → (w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A)))
75		ssel 2066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (w ∈ A → w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}))
76	75	con3d 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (¬ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ¬ w ∈ A))
77	76	com12 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ¬ w ∈ A))
78	77	adantrd 393	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
79	74, 78	pm2.61d1 128	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℤ → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
80	79	expdimp 377	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ w ∈ A))
81	80	19.21adv 1290	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ∀w ¬ w ∈ A))
82		eq0 2298	. . . . 5 ⊢ (A = ∅ ↔ ∀w ¬ w ∈ A)
83	81, 82	syl6ibr 213	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → A = ∅))
84	83	necon1ad 1634	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (A ≠ ∅ → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
85	84	imp 350	. 2 ⊢ (((B ∈ ℤ ⋀ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) ⋀ A ≠ ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
86	85	anasss 442	1 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ A ≠ ∅)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  {crab 1651   ⊆ wss 2050  ∅c0 2283   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   ≤ cle 5307  ℤcz 5310   < clt 5498

This theorem is referenced by:  uzwo5OLD 6213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

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