Theorem uzwo5OLD 6213

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of upper integers has a unique least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo5OLD	⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,z,B

Proof of Theorem uzwo5OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzwo4OLD 6212	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ A ≠ ∅)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
2		ssrab2 2134	. . . . . . 7 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℤ
3		zssre 6144	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 2076	. . . . . 6 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℝ
5		sstr 2075	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℝ) → A ⊆ ℝ)
6	4, 5	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → A ⊆ ℝ)
7		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = w → (x ≤ y ↔ x ≤ w))
8	7	rcla4v 1876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ A → (∀y ∈ A x ≤ y → x ≤ w))
9		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = x → (w ≤ y ↔ w ≤ x))
10	9	rcla4v 1876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ A → (∀y ∈ A w ≤ y → w ≤ x))
11	8, 10	im2anan9 565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((w ∈ A ⋀ x ∈ A) → ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → (x ≤ w ⋀ w ≤ x)))
12	11	ancoms 438	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A ⋀ w ∈ A) → ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → (x ≤ w ⋀ w ≤ x)))
13		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ ℝ → (x ∈ A → x ∈ ℝ))
14		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ ℝ → (w ∈ A → w ∈ ℝ))
15	13, 14	anim12d 560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ A ⋀ w ∈ A) → (x ∈ ℝ ⋀ w ∈ ℝ)))
16	15	impcom 351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ A ⋀ w ∈ A) ⋀ A ⊆ ℝ) → (x ∈ ℝ ⋀ w ∈ ℝ))
17		letri3t 5529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ w ∈ ℝ) → (x = w ↔ (x ≤ w ⋀ w ≤ x)))
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ A ⋀ w ∈ A) ⋀ A ⊆ ℝ) → (x = w ↔ (x ≤ w ⋀ w ≤ x)))
19	18	biimprd 154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ A ⋀ w ∈ A) ⋀ A ⊆ ℝ) → ((x ≤ w ⋀ w ≤ x) → x = w))
20	19	ex 373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ⋀ w ∈ A) → (A ⊆ ℝ → ((x ≤ w ⋀ w ≤ x) → x = w)))
21	20	com23 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A ⋀ w ∈ A) → ((x ≤ w ⋀ w ≤ x) → (A ⊆ ℝ → x = w)))
22	12, 21	syld 27	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ⋀ w ∈ A) → ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → (A ⊆ ℝ → x = w)))
23	22	com3r 35	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ A ⋀ w ∈ A) → ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w)))
24	23	r19.21aivv 1723	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℝ → ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w))
25	6, 24	syl 10	. . . 4 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w))
26	25	ad2antrl 408	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ A ≠ ∅)) → ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w))
27	1, 26	jca 288	. 2 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ A ≠ ∅)) → (∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w)))
28		breq1 2627	. . . 4 ⊢ (x = w → (x ≤ y ↔ w ≤ y))
29	28	ralbidv 1666	. . 3 ⊢ (x = w → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
30	29	reu4 1937	. 2 ⊢ (∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y ↔ (∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ⋀ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w)))
31	27, 30	sylibr 200	1 ⊢ ((B ∈ ℤ ⋀ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⋀ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  ∃!wreu 1650  {crab 1651   ⊆ wss 2050  ∅c0 2283   class class class wbr 2624  ℝcr 5245   ≤ cle 5307  ℤcz 5310

This theorem is referenced by:  uzwo3lem1 6218  uzwo3lem2 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain