Theorem va1cnlem 8341

Description: Lemma for va1cn 8342.

Hypotheses

Ref	Expression
va1cn.1	⊢ X = (Base ‘U)
va1cn.2	⊢ G = ( +v ‘U)
va1cn.8	⊢ D = (IndMet ‘U)
va1cn.j	⊢ J = (Open ‘D)
va1cn.f	⊢ F = {⟨w, v⟩∣(w ∈ X ⋀ v = (wGA))}
va1cn.9	⊢ U ∈ NrmCVec
va1cnlem.6	⊢ N = (norm ‘U)

Assertion

Ref	Expression
va1cnlem	⊢ (A ∈ X → F ∈ (J Cn J))

Distinct variable groups:   w,v,A   v,G,w   v,X,w

Proof of Theorem va1cnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		va1cn.9	. . . . . . 7 ⊢ U ∈ NrmCVec
2		va1cn.1	. . . . . . . 8 ⊢ X = (Base ‘U)
3		va1cn.2	. . . . . . . 8 ⊢ G = ( +v ‘U)
4	2, 3	nvgcl 8235	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ w ∈ X ⋀ A ∈ X) → (wGA) ∈ X)
5	1, 4	mp3an1 905	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ X ⋀ A ∈ X) → (wGA) ∈ X)
6	5	ancoms 438	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ X ⋀ w ∈ X) → (wGA) ∈ X)
7	6	r19.21aiva 1717	. . . 4 ⊢ (A ∈ X → ∀w ∈ X (wGA) ∈ X)
8		va1cn.f	. . . . 5 ⊢ F = {⟨w, v⟩∣(w ∈ X ⋀ v = (wGA))}
9	8	fopab2 3829	. . . 4 ⊢ (∀w ∈ X (wGA) ∈ X ↔ F:X–→X)
10	7, 9	sylib 198	. . 3 ⊢ (A ∈ X → F:X–→X)
11		idd 61	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u ∈ X → ((rDu) < s → (rDu) < s))
12	11	rgen 1701	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀u ∈ X ((rDu) < s → (rDu) < s)
13		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t = s → (0 < t ↔ 0 < s))
14		breq2 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = s → ((rDu) < t ↔ (rDu) < s))
15	14	imbi1d 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = s → (((rDu) < t → (rDu) < s) ↔ ((rDu) < s → (rDu) < s)))
16	15	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t = s → (∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s) ↔ ∀u ∈ X ((rDu) < s → (rDu) < s)))
17	13, 16	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (t = s → ((0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s)) ↔ (0 < s ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < s → (rDu) < s))))
18	17	rcla4ev 1880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((s ∈ ℝ ⋀ (0 < s ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < s → (rDu) < s))) → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s)))
19	12, 18	mpanr2 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((s ∈ ℝ ⋀ 0 < s) → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s)))
20	19	adantll 394	. . . . . . 7 ⊢ (((r ∈ X ⋀ s ∈ ℝ) ⋀ 0 < s) → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s)))
21	20	adantl 390	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ X ⋀ ((r ∈ X ⋀ s ∈ ℝ) ⋀ 0 < s)) → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s)))
22		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (w = r → (wGA) = (rGA))
23		oprex 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (rGA) ∈ V
24	22, 8, 23	fvopab4 3786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (r ∈ X → (F ‘r) = (rGA))
25		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (w = u → (wGA) = (uGA))
26		oprex 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (uGA) ∈ V
27	25, 8, 26	fvopab4 3786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (u ∈ X → (F ‘u) = (uGA))
28	24, 27	opreqan12d 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X) → ((F ‘r)D(F ‘u)) = ((rGA)D(uGA)))
29	28	adantll 394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ X ⋀ r ∈ X) ⋀ u ∈ X) → ((F ‘r)D(F ‘u)) = ((rGA)D(uGA)))
30	3	nvgrp 8232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (U ∈ NrmCVec → G ∈ Grp)
31	1, 30	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ G ∈ Grp
32	2, 3	bafval 8219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ X = ran G
33		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( −v ‘U) = ( −v ‘U)
34	3, 33	vsfval 8250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( −v ‘U) = ( /g ‘G)
35	32, 34	grppnpcan2 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((G ∈ Grp ⋀ (r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X)) → ((rGA)( −v ‘U)(uGA)) = (r( −v ‘U)u))
36	31, 35	mpan 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → ((rGA)( −v ‘U)(uGA)) = (r( −v ‘U)u))
37	36	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → (N ‘((rGA)( −v ‘U)(uGA))) = (N ‘(r( −v ‘U)u)))
38		va1cnlem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ N = (norm ‘U)
39		va1cn.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ D = (IndMet ‘U)
40	2, 33, 38, 39	imsdval 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (rGA) ∈ X ⋀ (uGA) ∈ X) → ((rGA)D(uGA)) = (N ‘((rGA)( −v ‘U)(uGA))))
41	1, 40	mp3an1 905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((rGA) ∈ X ⋀ (uGA) ∈ X) → ((rGA)D(uGA)) = (N ‘((rGA)( −v ‘U)(uGA))))
42	2, 3	nvgcl 8235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ r ∈ X ⋀ A ∈ X) → (rGA) ∈ X)
43	1, 42	mp3an1 905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((r ∈ X ⋀ A ∈ X) → (rGA) ∈ X)
44	43	3adant2 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → (rGA) ∈ X)
45	2, 3	nvgcl 8235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → (uGA) ∈ X)
46	1, 45	mp3an1 905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((u ∈ X ⋀ A ∈ X) → (uGA) ∈ X)
47	46	3adant1 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → (uGA) ∈ X)
48	41, 44, 47	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → ((rGA)D(uGA)) = (N ‘((rGA)( −v ‘U)(uGA))))
49	2, 33, 38, 39	imsdval 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ r ∈ X ⋀ u ∈ X) → (rDu) = (N ‘(r( −v ‘U)u)))
50	1, 49	mp3an1 905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X) → (rDu) = (N ‘(r( −v ‘U)u)))
51	50	3adant3 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → (rDu) = (N ‘(r( −v ‘U)u)))
52	37, 48, 51	3eqtr4d 1520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((r ∈ X ⋀ u ∈ X ⋀ A ∈ X) → ((rGA)D(uGA)) = (rDu))
53	52	3comr 843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ X ⋀ r ∈ X ⋀ u ∈ X) → ((rGA)D(uGA)) = (rDu))
54	53	3expa 835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ X ⋀ r ∈ X) ⋀ u ∈ X) → ((rGA)D(uGA)) = (rDu))
55	29, 54	eqtrd 1510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ X ⋀ r ∈ X) ⋀ u ∈ X) → ((F ‘r)D(F ‘u)) = (rDu))
56	55	breq1d 2634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ X ⋀ r ∈ X) ⋀ u ∈ X) → (((F ‘r)D(F ‘u)) < s ↔ (rDu) < s))
57	56	imbi2d 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ X ⋀ r ∈ X) ⋀ u ∈ X) → (((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s) ↔ ((rDu) < t → (rDu) < s)))
58	57	ralbidva 1662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ X ⋀ r ∈ X) → (∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s) ↔ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s)))
59	58	anbi2d 618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ X ⋀ r ∈ X) → ((0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)) ↔ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s))))
60	59	rexbidv 1667	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ X ⋀ r ∈ X) → (∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)) ↔ ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s))))
61	60	adantrr 397	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ X ⋀ (r ∈ X ⋀ s ∈ ℝ)) → (∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)) ↔ ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s))))
62	61	adantrr 397	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ X ⋀ ((r ∈ X ⋀ s ∈ ℝ) ⋀ 0 < s)) → (∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)) ↔ ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → (rDu) < s))))
63	21, 62	mpbird 196	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ X ⋀ ((r ∈ X ⋀ s ∈ ℝ) ⋀ 0 < s)) → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)))
64	63	exp32 379	. . . 4 ⊢ (A ∈ X → ((r ∈ X ⋀ s ∈ ℝ) → (0 < s → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)))))
65	64	r19.21aivv 1723	. . 3 ⊢ (A ∈ X → ∀r ∈ X ∀s ∈ ℝ (0 < s → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s))))
66	10, 65	jca 288	. 2 ⊢ (A ∈ X → (F:X–→X ⋀ ∀r ∈ X ∀s ∈ ℝ (0 < s → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)))))
67	39	imsmet 8320	. . . 4 ⊢ (U ∈ NrmCVec → D ∈ Met)
68	1, 67	ax-mp 7	. . 3 ⊢ D ∈ Met
69	2, 39, 1	imsbai 8318	. . . 4 ⊢ X = dom dom D
70		va1cn.j	. . . 4 ⊢ J = (Open ‘D)
71	69, 70, 69, 70	metcn 7886	. . 3 ⊢ ((D ∈ Met ⋀ D ∈ Met) → (F ∈ (J Cn J) ↔ (F:X–→X ⋀ ∀r ∈ X ∀s ∈ ℝ (0 < s → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s))))))
72	68, 68, 71	mp2an 699	. 2 ⊢ (F ∈ (J Cn J) ↔ (F:X–→X ⋀ ∀r ∈ X ∀s ∈ ℝ (0 < s → ∃t ∈ ℝ (0 < t ⋀ ∀u ∈ X ((rDu) < t → ((F ‘r)D(F ‘u)) < s)))))
73	66, 72	sylibr 200	1 ⊢ (A ∈ X → F ∈ (J Cn J))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649   class class class wbr 2624  {copab 2671  –→wf 3184   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  0cc0 5246   < clt 5498   Cn ccn 7749  Metcme 7786  Opencopn 7789  Grpcgr 8030  NrmCVeccnv 8199   +_v cpv 8200  Basecba 8201   −_v cnsb 8204  normcnm 8205  IndMetcims 8206

This theorem is referenced by:  va1cn 8342

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216

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