Theorem vc0 8184

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51.

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ G = (1st ‘W)
vc0.2	⊢ S = (2nd ‘W)
vc0.3	⊢ X = ran G
vc0.4	⊢ Z = (Id ‘G)

Assertion

Ref	Expression
vc0	⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → (0SA) = Z)

Proof of Theorem vc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . 4 ⊢ G = (1st ‘W)
2		vc0.3	. . . 4 ⊢ X = ran G
3		vc0.4	. . . 4 ⊢ Z = (Id ‘G)
4	1, 2, 3	vc0rid 8182	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → (AGZ) = A)
5		ax1cn 5281	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	addid1 5342	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
7	6	opreq1i 3977	. . . . 5 ⊢ ((1 + 0)SA) = (1SA)
8	7	a1i 8	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → ((1 + 0)SA) = (1SA))
9		0cn 5340	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
10		vc0.2	. . . . . . 7 ⊢ S = (2nd ‘W)
11	1, 10, 2	vcdir 8168	. . . . . 6 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ (1 ∈ ℂ ⋀ 0 ∈ ℂ ⋀ A ∈ X)) → ((1 + 0)SA) = ((1SA)G(0SA)))
12	5, 11	mp3anr1 915	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ (0 ∈ ℂ ⋀ A ∈ X)) → ((1 + 0)SA) = ((1SA)G(0SA)))
13	9, 12	mpanr1 711	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → ((1 + 0)SA) = ((1SA)G(0SA)))
14	1, 10, 2	vcid 8166	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → (1SA) = A)
15	8, 13, 14	3eqtr3d 1518	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → ((1SA)G(0SA)) = A)
16	14	opreq1d 3981	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → ((1SA)G(0SA)) = (AG(0SA)))
17	4, 15, 16	3eqtr2rd 1517	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → (AG(0SA)) = (AGZ))
18	1, 10, 2	vccl 8165	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ 0 ∈ ℂ ⋀ A ∈ X) → (0SA) ∈ X)
19	9, 18	mp3an2 906	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → (0SA) ∈ X)
20	1, 2, 3	vczcl 8181	. . . . 5 ⊢ (W ∈ CVec → Z ∈ X)
21	20	adantr 391	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → Z ∈ X)
22		pm3.27 323	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → A ∈ X)
23	19, 21, 22	3jca 821	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → ((0SA) ∈ X ⋀ Z ∈ X ⋀ A ∈ X))
24	1, 2	vclcan 8180	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ ((0SA) ∈ X ⋀ Z ∈ X ⋀ A ∈ X)) → ((AG(0SA)) = (AGZ) ↔ (0SA) = Z))
25	23, 24	syldan 469	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → ((AG(0SA)) = (AGZ) ↔ (0SA) = Z))
26	17, 25	mpbid 195	1 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → (0SA) = Z)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ran crn 3177   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  1^st c1st 4083  2^nd c2nd 4084  ℂcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249  Idcgi 8031  CVeccvc 8160

This theorem is referenced by:  vcz 8185  vcm 8186  nv0 8254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161

Copyright terms: Public domain