Theorem vcex 8195

Description: The components of a complex vector space are sets.

Assertion

Ref	Expression
vcex	⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → (G ∈ V ⋀ S ∈ V))

Proof of Theorem vcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vcrel 8162	. . . . 5 ⊢ Rel CVec
2		df-rel 3191	. . . . 5 ⊢ (Rel CVec ↔ CVec ⊆ (V × V))
3	1, 2	mpbi 189	. . . 4 ⊢ CVec ⊆ (V × V)
4	3	sseli 2068	. . 3 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → ⟨G, S⟩ ∈ (V × V))
5		opelxp1 3211	. . 3 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ (V × V) → G ∈ V)
6	4, 5	syl 10	. 2 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → G ∈ V)
7		eqid 1478	. . . . 5 ⊢ G = G
8		vcoprne 8194	. . . . . 6 ⊢ (⟨G, G⟩ ∈ CVec → G ≠ G)
9		df-ne 1590	. . . . . 6 ⊢ (G ≠ G ↔ ¬ G = G)
10	8, 9	sylib 198	. . . . 5 ⊢ (⟨G, G⟩ ∈ CVec → ¬ G = G)
11	7, 10	mt2 109	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨G, G⟩ ∈ CVec
12		opprc2 2503	. . . . 5 ⊢ (¬ S ∈ V → ⟨G, S⟩ = ⟨G, G⟩)
13	12	eleq1d 1543	. . . 4 ⊢ (¬ S ∈ V → (⟨G, S⟩ ∈ CVec ↔ ⟨G, G⟩ ∈ CVec))
14	11, 13	mtbiri 719	. . 3 ⊢ (¬ S ∈ V → ¬ ⟨G, S⟩ ∈ CVec)
15	14	a3i 74	. 2 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → S ∈ V)
16	6, 15	jca 288	1 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → (G ∈ V ⋀ S ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  Vcvv 1814   ⊆ wss 2050  ⟨cop 2415   × cxp 3174  Rel wrel 3181  CVeccvc 8160

This theorem is referenced by:  isvc 8196  nvex 8226  isnv 8227  h2hsm 8839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161

Copyright terms: Public domain