Theorem vcnegsubdi2 8190

Description: Distribution of negative over vector subtraction.

Hypotheses

Ref	Expression
vcni.1	⊢ G = (1st ‘W)
vcni.2	⊢ S = (2nd ‘W)
vcni.3	⊢ X = ran G

Assertion

Ref	Expression
vcnegsubdi2	⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (-1S(AG(-1SB))) = (BG(-1SA)))

Proof of Theorem vcnegsubdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5281	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2	1	negcl 5381	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		vcni.1	. . . . . 6 ⊢ G = (1st ‘W)
4		vcni.2	. . . . . 6 ⊢ S = (2nd ‘W)
5		vcni.3	. . . . . 6 ⊢ X = ran G
6	3, 4, 5	vcdi 8167	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ (-1 ∈ ℂ ⋀ A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X)) → (-1S(AG(-1SB))) = ((-1SA)G(-1S(-1SB))))
7	2, 6	mp3anr1 915	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ (A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X)) → (-1S(AG(-1SB))) = ((-1SA)G(-1S(-1SB))))
8	7	3impb 831	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ (-1SB) ∈ X) → (-1S(AG(-1SB))) = ((-1SA)G(-1S(-1SB))))
9	3, 4, 5	vccl 8165	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ -1 ∈ ℂ ⋀ B ∈ X) → (-1SB) ∈ X)
10	2, 9	mp3an2 906	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ B ∈ X) → (-1SB) ∈ X)
11	10	3adant2 800	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (-1SB) ∈ X)
12	8, 11	syld3an3 872	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (-1S(AG(-1SB))) = ((-1SA)G(-1S(-1SB))))
13	3, 4, 5	vcnegneg 8189	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ B ∈ X) → (-1S(-1SB)) = B)
14	13	3adant2 800	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (-1S(-1SB)) = B)
15	14	opreq2d 3982	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → ((-1SA)G(-1S(-1SB))) = ((-1SA)GB))
16	3, 5	vccom 8175	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ (-1SA) ∈ X ⋀ B ∈ X) → ((-1SA)GB) = (BG(-1SA)))
17	3, 4, 5	vccl 8165	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ -1 ∈ ℂ ⋀ A ∈ X) → (-1SA) ∈ X)
18	2, 17	mp3an2 906	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X) → (-1SA) ∈ X)
19	18	3adant3 801	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (-1SA) ∈ X)
20	16, 19	syld3an2 874	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → ((-1SA)GB) = (BG(-1SA)))
21	12, 15, 20	3eqtrd 1514	1 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (-1S(AG(-1SB))) = (BG(-1SA)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ran crn 3177   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  1^st c1st 4083  2^nd c2nd 4084  ℂcc 5244  1c1 5247  -cneg 5305  CVeccvc 8160

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-abl 8096  df-vc 8161

Copyright terms: Public domain