Theorem vcz 8185

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51.

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ G = (1st ‘W)
vc0.2	⊢ S = (2nd ‘W)
vc0.3	⊢ X = ran G
vc0.4	⊢ Z = (Id ‘G)

Assertion

Ref	Expression
vcz	⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → (ASZ) = Z)

Proof of Theorem vcz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . . . . 7 ⊢ G = (1st ‘W)
2		vc0.3	. . . . . . 7 ⊢ X = ran G
3		vc0.4	. . . . . . 7 ⊢ Z = (Id ‘G)
4	1, 2, 3	vczcl 8181	. . . . . 6 ⊢ (W ∈ CVec → Z ∈ X)
5	4	anim2i 335	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ W ∈ CVec) → (A ∈ ℂ ⋀ Z ∈ X))
6	5	ancoms 438	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → (A ∈ ℂ ⋀ Z ∈ X))
7		0cn 5340	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		vc0.2	. . . . . 6 ⊢ S = (2nd ‘W)
9	1, 8, 2	vcass 8169	. . . . 5 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ (A ∈ ℂ ⋀ 0 ∈ ℂ ⋀ Z ∈ X)) → ((A · 0)SZ) = (AS(0SZ)))
10	7, 9	mp3anr2 916	. . . 4 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ (A ∈ ℂ ⋀ Z ∈ X)) → ((A · 0)SZ) = (AS(0SZ)))
11	6, 10	syldan 469	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → ((A · 0)SZ) = (AS(0SZ)))
12	1, 8, 2, 3	vc0 8184	. . . . . 6 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ Z ∈ X) → (0SZ) = Z)
13	4, 12	mpdan 706	. . . . 5 ⊢ (W ∈ CVec → (0SZ) = Z)
14	13	opreq2d 3982	. . . 4 ⊢ (W ∈ CVec → (AS(0SZ)) = (ASZ))
15	14	adantr 391	. . 3 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → (AS(0SZ)) = (ASZ))
16	11, 15	eqtr2d 1511	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → (ASZ) = ((A · 0)SZ))
17		mul01t 5455	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 0) = 0)
18	17	opreq1d 3981	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → ((A · 0)SZ) = (0SZ))
19	18	adantl 390	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → ((A · 0)SZ) = (0SZ))
20	13	adantr 391	. 2 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → (0SZ) = Z)
21	16, 19, 20	3eqtrd 1514	1 ⊢ ((W ∈ CVec ⋀ A ∈ ℂ) → (ASZ) = Z)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ran crn 3177   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  1^st c1st 4083  2^nd c2nd 4084  ℂcc 5244  0cc0 5246   · cmul 5251  Idcgi 8031  CVeccvc 8160

This theorem is referenced by:  vcoprne 8194  nvsz 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161

Copyright terms: Public domain