Theorem vtoclr 3217

Description: Variable to class conversion of transitive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	⊢ Rel R
vtoclr.2	⊢ ((xRy ⋀ yRz) → xRz)

Assertion

Ref	Expression
vtoclr	⊢ (C ∈ D → ((ARB ⋀ BRC) → ARC))

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,z,C,y   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1820	. 2 ⊢ (C ∈ D → C ∈ V)
2		breq1 2627	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (xRy ↔ ARy))
3	2	anbi1d 619	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → ((xRy ⋀ yRC) ↔ (ARy ⋀ yRC)))
4		breq1 2627	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (xRC ↔ ARC))
5	3, 4	imbi12d 628	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (((xRy ⋀ yRC) → xRC) ↔ ((ARy ⋀ yRC) → ARC)))
6	5	imbi2d 614	. . . . 5 ⊢ (x = A → ((C ∈ V → ((xRy ⋀ yRC) → xRC)) ↔ (C ∈ V → ((ARy ⋀ yRC) → ARC))))
7		breq2 2628	. . . . . . . 8 ⊢ (y = B → (ARy ↔ ARB))
8		breq1 2627	. . . . . . . 8 ⊢ (y = B → (yRC ↔ BRC))
9	7, 8	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → ((ARy ⋀ yRC) ↔ (ARB ⋀ BRC)))
10	9	imbi1d 615	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (((ARy ⋀ yRC) → ARC) ↔ ((ARB ⋀ BRC) → ARC)))
11	10	imbi2d 614	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((C ∈ V → ((ARy ⋀ yRC) → ARC)) ↔ (C ∈ V → ((ARB ⋀ BRC) → ARC))))
12		breq2 2628	. . . . . . . 8 ⊢ (z = C → (yRz ↔ yRC))
13	12	anbi2d 618	. . . . . . 7 ⊢ (z = C → ((xRy ⋀ yRz) ↔ (xRy ⋀ yRC)))
14		breq2 2628	. . . . . . 7 ⊢ (z = C → (xRz ↔ xRC))
15	13, 14	imbi12d 628	. . . . . 6 ⊢ (z = C → (((xRy ⋀ yRz) → xRz) ↔ ((xRy ⋀ yRC) → xRC)))
16		vtoclr.2	. . . . . 6 ⊢ ((xRy ⋀ yRz) → xRz)
17	15, 16	vtoclg 1850	. . . . 5 ⊢ (C ∈ V → ((xRy ⋀ yRC) → xRC))
18	6, 11, 17	vtocl2g 1853	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ⋀ B ∈ V) → (C ∈ V → ((ARB ⋀ BRC) → ARC)))
19		vtoclr.1	. . . . 5 ⊢ Rel R
20	19	brrelexi 3214	. . . 4 ⊢ (ARB → A ∈ V)
21	19	brrelexi 3214	. . . 4 ⊢ (BRC → B ∈ V)
22	18, 20, 21	syl2an 456	. . 3 ⊢ ((ARB ⋀ BRC) → (C ∈ V → ((ARB ⋀ BRC) → ARC)))
23	22	pm2.43b 67	. 2 ⊢ (C ∈ V → ((ARB ⋀ BRC) → ARC))
24	1, 23	syl 10	1 ⊢ (C ∈ D → ((ARB ⋀ BRC) → ARC))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  Rel wrel 3181

This theorem is referenced by:  vtoclrbr 3218  vtoclibr 3219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191

Copyright terms: Public domain