Theorem xor2 675

Description: Two ways to express "exclusive or."

Assertion

Ref	Expression
xor2	⊢ (¬ (φ ↔ ψ) ↔ ((φ ⋁ ψ) ⋀ ¬ (φ ⋀ ψ)))

Proof of Theorem xor2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xor 673	. 2 ⊢ (¬ (φ ↔ ψ) ↔ ((φ ⋀ ¬ ψ) ⋁ (ψ ⋀ ¬ φ)))
2		ioran 306	. . 3 ⊢ (¬ ((φ ⋀ ψ) ⋁ (¬ φ ⋀ ¬ ψ)) ↔ (¬ (φ ⋀ ψ) ⋀ ¬ (¬ φ ⋀ ¬ ψ)))
3		pm5.24 674	. . 3 ⊢ (¬ ((φ ⋀ ψ) ⋁ (¬ φ ⋀ ¬ ψ)) ↔ ((φ ⋀ ¬ ψ) ⋁ (ψ ⋀ ¬ φ)))
4		oran 312	. . . . 5 ⊢ ((φ ⋁ ψ) ↔ ¬ (¬ φ ⋀ ¬ ψ))
5	4	anbi2i 482	. . . 4 ⊢ ((¬ (φ ⋀ ψ) ⋀ (φ ⋁ ψ)) ↔ (¬ (φ ⋀ ψ) ⋀ ¬ (¬ φ ⋀ ¬ ψ)))
6		ancom 437	. . . 4 ⊢ ((¬ (φ ⋀ ψ) ⋀ (φ ⋁ ψ)) ↔ ((φ ⋁ ψ) ⋀ ¬ (φ ⋀ ψ)))
7	5, 6	bitr3 175	. . 3 ⊢ ((¬ (φ ⋀ ψ) ⋀ ¬ (¬ φ ⋀ ¬ ψ)) ↔ ((φ ⋁ ψ) ⋀ ¬ (φ ⋀ ψ)))
8	2, 3, 7	3bitr3 181	. 2 ⊢ (((φ ⋀ ¬ ψ) ⋁ (ψ ⋀ ¬ φ)) ↔ ((φ ⋁ ψ) ⋀ ¬ (φ ⋀ ψ)))
9	1, 8	bitr 173	1 ⊢ (¬ (φ ↔ ψ) ↔ ((φ ⋁ ψ) ⋀ ¬ (φ ⋀ ψ)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223

This theorem is referenced by:  nmogtmnf 8429  nmopgtmnf 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225

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