Theorem xp0r 3245

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
xp0r	⊢ (∅ × A) = ∅

Proof of Theorem xp0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3208	. . 3 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ ∅ ⋀ y ∈ A)))
2		noel 2287	. . . . . . 7 ⊢ ¬ x ∈ ∅
3		simprl 416	. . . . . . 7 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ ∅ ⋀ y ∈ A)) → x ∈ ∅)
4	2, 3	mto 106	. . . . . 6 ⊢ ¬ (z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ ∅ ⋀ y ∈ A))
5	4	nex 1103	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ ∅ ⋀ y ∈ A))
6	5	nex 1103	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ ∅ ⋀ y ∈ A))
7		noel 2287	. . . 4 ⊢ ¬ z ∈ ∅
8	6, 7	2false 721	. . 3 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ ∅ ⋀ y ∈ A)) ↔ z ∈ ∅)
9	1, 8	bitr 173	. 2 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ z ∈ ∅)
10	9	eqriv 1477	1 ⊢ (∅ × A) = ∅

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∅c0 2283  ⟨cop 2415   × cxp 3174

This theorem is referenced by:  dmxpid 3339  res0 3377  xp0 3471  xpnz 3472  xpdisj1 3474  rnxpss 3480  unixp 3523  fconst 3664  fodomr 4489  cda0en 4937  cdaassen 4942  alephadd 7584  0met 7822  0alg 10660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain