Theorem xpdom1g 4450

Description: Dominance law for cross product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149.

Assertion

Ref	Expression
xpdom1g	⊢ ((B ∈ R ⋀ C ∈ S ⋀ A ≼ B) → (A × C) ≼ (B × C))

Proof of Theorem xpdom1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . 4 ⊢ (y = B → (A ≼ y ↔ A ≼ B))
2		xpeq1 3206	. . . . 5 ⊢ (y = B → (y × z) = (B × z))
3	2	breq2d 2635	. . . 4 ⊢ (y = B → ((A × z) ≼ (y × z) ↔ (A × z) ≼ (B × z)))
4	1, 3	imbi12d 628	. . 3 ⊢ (y = B → ((A ≼ y → (A × z) ≼ (y × z)) ↔ (A ≼ B → (A × z) ≼ (B × z))))
5		xpeq2 3207	. . . . 5 ⊢ (z = C → (A × z) = (A × C))
6		xpeq2 3207	. . . . 5 ⊢ (z = C → (B × z) = (B × C))
7	5, 6	breq12d 2636	. . . 4 ⊢ (z = C → ((A × z) ≼ (B × z) ↔ (A × C) ≼ (B × C)))
8	7	imbi2d 614	. . 3 ⊢ (z = C → ((A ≼ B → (A × z) ≼ (B × z)) ↔ (A ≼ B → (A × C) ≼ (B × C))))
9		visset 1816	. . . 4 ⊢ y ∈ V
10		visset 1816	. . . 4 ⊢ z ∈ V
11	9, 10	xpdom1 4449	. . 3 ⊢ (A ≼ y → (A × z) ≼ (y × z))
12	4, 8, 11	vtocl2g 1853	. 2 ⊢ ((B ∈ R ⋀ C ∈ S) → (A ≼ B → (A × C) ≼ (B × C)))
13	12	3impia 832	1 ⊢ ((B ∈ R ⋀ C ∈ S ⋀ A ≼ B) → (A × C) ≼ (B × C))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   class class class wbr 2624   × cxp 3174   ≼ cdom 4371

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain