Theorem xpexr2 3486

Description: If a nonempty cross product is a set, so are both of its components.

Assertion

Ref	Expression
xpexr2	⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ (A × B) ≠ ∅) → (A ∈ V ⋀ B ∈ V))

Proof of Theorem xpexr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxp 3338	. . . . . . 7 ⊢ (B ≠ ∅ → dom ( A × B) = A)
2	1	adantl 390	. . . . . 6 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ B ≠ ∅) → dom ( A × B) = A)
3		dmexg 3364	. . . . . . 7 ⊢ ((A × B) ∈ C → dom ( A × B) ∈ V)
4	3	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ B ≠ ∅) → dom ( A × B) ∈ V)
5	2, 4	eqeltrrd 1552	. . . . 5 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ B ≠ ∅) → A ∈ V)
6		rnxp 3478	. . . . . . 7 ⊢ (A ≠ ∅ → ran ( A × B) = B)
7	6	adantl 390	. . . . . 6 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ A ≠ ∅) → ran ( A × B) = B)
8		rnexg 3365	. . . . . . 7 ⊢ ((A × B) ∈ C → ran ( A × B) ∈ V)
9	8	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ A ≠ ∅) → ran ( A × B) ∈ V)
10	7, 9	eqeltrrd 1552	. . . . 5 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ A ≠ ∅) → B ∈ V)
11	5, 10	anim12i 333	. . . 4 ⊢ ((((A × B) ∈ C ⋀ B ≠ ∅) ⋀ ((A × B) ∈ C ⋀ A ≠ ∅)) → (A ∈ V ⋀ B ∈ V))
12	11	anandis 514	. . 3 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ (B ≠ ∅ ⋀ A ≠ ∅)) → (A ∈ V ⋀ B ∈ V))
13	12	ancom2s 489	. 2 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ (A ≠ ∅ ⋀ B ≠ ∅)) → (A ∈ V ⋀ B ∈ V))
14		xpnz 3472	. 2 ⊢ ((A ≠ ∅ ⋀ B ≠ ∅) ↔ (A × B) ≠ ∅)
15	13, 14	sylan2br 455	1 ⊢ (((A × B) ∈ C ⋀ (A × B) ≠ ∅) → (A ∈ V ⋀ B ∈ V))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  Vcvv 1814  ∅c0 2283   × cxp 3174  dom cdm 3176  ran crn 3177

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195

Copyright terms: Public domain