Theorem xpsn 3841

Description: The cross product of two singletons.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	⊢ A ∈ V
fsn.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	⊢ ({A} × {B}) = {⟨A, B⟩}

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
2	1	fconst 3664	. 2 ⊢ ({A} × {B}):{A}–→{B}
3		fsn.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
4	3, 1	fsn 3840	. 2 ⊢ (({A} × {B}):{A}–→{B} ↔ ({A} × {B}) = {⟨A, B⟩})
5	2, 4	mpbi 189	1 ⊢ ({A} × {B}) = {⟨A, B⟩}

Syntax hints:   = wceq 958   ∈ wcel 960  Vcvv 1814  {csn 2413  ⟨cop 2415   × cxp 3174  –→wf 3184

This theorem is referenced by:  grpsn 8120  ablsn 8121  ringsn 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-reu 1654  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203

Copyright terms: Public domain