Theorem xpss 3236

Description: A cross product is included in the ordered pair universe. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
xpss	⊢ (A × B) ⊆ (V × V)

Proof of Theorem xpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . . 4 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ A ⋀ y ∈ B)) → z = ⟨x, y⟩)
2	1	19.22i2 1043	. . 3 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ A ⋀ y ∈ B)) → ∃x∃y z = ⟨x, y⟩)
3		elxp 3208	. . 3 ⊢ (z ∈ (A × B) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ⋀ (x ∈ A ⋀ y ∈ B)))
4		elvv 3234	. . 3 ⊢ (z ∈ (V × V) ↔ ∃x∃y z = ⟨x, y⟩)
5	2, 3, 4	3imtr4 219	. 2 ⊢ (z ∈ (A × B) → z ∈ (V × V))
6	5	ssriv 2072	1 ⊢ (A × B) ⊆ (V × V)

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  Vcvv 1814   ⊆ wss 2050  ⟨cop 2415   × cxp 3174

This theorem is referenced by:  relxp 3261  relres 3393  dff2 3823  nvrel 8217  relded 10644  relcat 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain