Theorem xrmaxltt 5915

Description: Two ways of saying the maximum of two extended reals is less than a third.

Assertion

Ref	Expression
xrmaxltt	⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ( if(A ≤ B, B, A) < C ↔ (A < C ⋀ B < C)))

Proof of Theorem xrmaxltt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmax1 5911	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ*) → A ≤ if(A ≤ B, B, A))
2	1	3adant3 801	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → A ≤ if(A ≤ B, B, A))
3		xrlelttrt 5574	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ if(A ≤ B, B, A) ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ((A ≤ if(A ≤ B, B, A) ⋀ if(A ≤ B, B, A) < C) → A < C))
4		ifcl 2384	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ* ⋀ A ∈ ℝ*) → if(A ≤ B, B, A) ∈ ℝ*)
5	4	ancoms 438	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ*) → if(A ≤ B, B, A) ∈ ℝ*)
6	5	3adant3 801	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → if(A ≤ B, B, A) ∈ ℝ*)
7	3, 6	syld3an2 874	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ((A ≤ if(A ≤ B, B, A) ⋀ if(A ≤ B, B, A) < C) → A < C))
8	2, 7	mpand 703	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ( if(A ≤ B, B, A) < C → A < C))
9		xrmax2 5912	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ*) → B ≤ if(A ≤ B, B, A))
10	9	3adant3 801	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → B ≤ if(A ≤ B, B, A))
11		xrlelttrt 5574	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ* ⋀ if(A ≤ B, B, A) ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ((B ≤ if(A ≤ B, B, A) ⋀ if(A ≤ B, B, A) < C) → B < C))
12		3simp2 791	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → B ∈ ℝ*)
13		3simp3 792	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → C ∈ ℝ*)
14	11, 12, 6, 13	syl3anc 860	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ((B ≤ if(A ≤ B, B, A) ⋀ if(A ≤ B, B, A) < C) → B < C))
15	10, 14	mpand 703	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ( if(A ≤ B, B, A) < C → B < C))
16	8, 15	jcad 602	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ( if(A ≤ B, B, A) < C → (A < C ⋀ B < C)))
17		breq1 2627	. . . 4 ⊢ (B = if(A ≤ B, B, A) → (B < C ↔ if(A ≤ B, B, A) < C))
18		breq1 2627	. . . 4 ⊢ (A = if(A ≤ B, B, A) → (A < C ↔ if(A ≤ B, B, A) < C))
19	17, 18	ifboth 2379	. . 3 ⊢ ((B < C ⋀ A < C) → if(A ≤ B, B, A) < C)
20	19	ancoms 438	. 2 ⊢ ((A < C ⋀ B < C) → if(A ≤ B, B, A) < C)
21	16, 20	impbid1 519	1 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ( if(A ≤ B, B, A) < C ↔ (A < C ⋀ B < C)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   ∈ wcel 960   ifcif 2365   class class class wbr 2624   ≤ cle 5307  ℝ^*cxr 5497   < clt 5498

This theorem is referenced by:  iooint 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

Copyright terms: Public domain