Theorem xrre2t 5582

Description: An extended real between two others is real.

Assertion

Ref	Expression
xrre2t	⊢ (((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) ⋀ (A < B ⋀ B < C)) → B ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflet 5561	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ* → -∞ ≤ A)
2	1	adantr 391	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ*) → -∞ ≤ A)
3		mnfxr 5506	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
4		xrlelttrt 5574	. . . . . . 7 ⊢ (( -∞ ∈ ℝ* ⋀ A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ*) → (( -∞ ≤ A ⋀ A < B) → -∞ < B))
5	3, 4	mp3an1 905	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ*) → (( -∞ ≤ A ⋀ A < B) → -∞ < B))
6	2, 5	mpand 703	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ*) → (A < B → -∞ < B))
7	6	3adant3 801	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → (A < B → -∞ < B))
8		pnfget 5560	. . . . . . 7 ⊢ (C ∈ ℝ* → C ≤ +∞)
9	8	adantl 390	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → C ≤ +∞)
10		pnfxr 5505	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11		xrltletrt 5575	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ* ⋀ +∞ ∈ ℝ*) → ((B < C ⋀ C ≤ +∞) → B < +∞))
12	10, 11	mp3an3 907	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ((B < C ⋀ C ≤ +∞) → B < +∞))
13	9, 12	mpan2d 704	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → (B < C → B < +∞))
14	13	3adant1 799	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → (B < C → B < +∞))
15	7, 14	anim12d 560	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ((A < B ⋀ B < C) → ( -∞ < B ⋀ B < +∞)))
16		xrrebndt 5580	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℝ* → (B ∈ ℝ ↔ ( -∞ < B ⋀ B < +∞)))
17	16	3ad2ant2 803	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → (B ∈ ℝ ↔ ( -∞ < B ⋀ B < +∞)))
18	15, 17	sylibrd 204	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) → ((A < B ⋀ B < C) → B ∈ ℝ))
19	18	imp 350	1 ⊢ (((A ∈ ℝ* ⋀ B ∈ ℝ* ⋀ C ∈ ℝ*) ⋀ (A < B ⋀ B < C)) → B ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   ∈ wcel 960   class class class wbr 2624  ℝcr 5245   ≤ cle 5307   +∞cpnf 5495   -∞cmnf 5496  ℝ^*cxr 5497   < clt 5498

This theorem is referenced by:  iooval2t 6368  elioo4g 6386

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

Copyright terms: Public domain