Theorem zbtwnre 6223

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ⋀ x < (A + 1)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem zbtwnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 6221	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))
2		ltletrt 5536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x − 1) ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (((x − 1) < A ⋀ A ≤ y) → (x − 1) < y))
3		zret 6141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
4		peano2rem 5454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℝ → (x − 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℤ → (x − 1) ∈ ℝ)
6	2, 5	syl3an1 861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (((x − 1) < A ⋀ A ≤ y) → (x − 1) < y))
7	6	3expa 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → (((x − 1) < A ⋀ A ≤ y) → (x − 1) < y))
8		zret 6141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℝ)
9	7, 8	sylan2 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℤ) → (((x − 1) < A ⋀ A ≤ y) → (x − 1) < y))
10		zlem1ltt 6185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℤ) → (x ≤ y ↔ (x − 1) < y))
11	10	adantlr 395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℤ) → (x ≤ y ↔ (x − 1) < y))
12	9, 11	sylibrd 204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℤ) → (((x − 1) < A ⋀ A ≤ y) → x ≤ y))
13	12	exp4b 381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → (y ∈ ℤ → ((x − 1) < A → (A ≤ y → x ≤ y))))
14	13	com23 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A → (y ∈ ℤ → (A ≤ y → x ≤ y))))
15	14	r19.21adv 1721	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A → ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))
16		ltnrt 5542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x − 1) ∈ ℝ → ¬ (x − 1) < (x − 1))
17	3, 4, 16	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℤ → ¬ (x − 1) < (x − 1))
18		peano2zm 6171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℤ → (x − 1) ∈ ℤ)
19		zlem1ltt 6185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ (x − 1) ∈ ℤ) → (x ≤ (x − 1) ↔ (x − 1) < (x − 1)))
20	18, 19	mpdan 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℤ → (x ≤ (x − 1) ↔ (x − 1) < (x − 1)))
21	17, 20	mtbird 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℤ → ¬ x ≤ (x − 1))
22	21	ad2antrr 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) → ¬ x ≤ (x − 1))
23		lenltt 5522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (x − 1) ∈ ℝ) → (A ≤ (x − 1) ↔ ¬ (x − 1) < A))
24	23, 5	sylan2 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℤ) → (A ≤ (x − 1) ↔ ¬ (x − 1) < A))
25	24	ancoms 438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → (A ≤ (x − 1) ↔ ¬ (x − 1) < A))
26	25	adantr 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) → (A ≤ (x − 1) ↔ ¬ (x − 1) < A))
27		breq2 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = (x − 1) → (A ≤ y ↔ A ≤ (x − 1)))
28		breq2 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = (x − 1) → (x ≤ y ↔ x ≤ (x − 1)))
29	27, 28	imbi12d 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = (x − 1) → ((A ≤ y → x ≤ y) ↔ (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1))))
30	29	rcla4v 1876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x − 1) ∈ ℤ → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1))))
31	18, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℤ → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1))))
32	31	imp 350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1)))
33	32	adantlr 395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1)))
34	26, 33	sylbird 205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) → (¬ (x − 1) < A → x ≤ (x − 1)))
35	22, 34	mt3d 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) → (x − 1) < A)
36	35	ex 373	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → (x − 1) < A))
37	15, 36	impbid 518	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))
38		1re 5447	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
39		ltsubaddt 5639	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ x < (A + 1)))
40	38, 39	mp3an2 906	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ x < (A + 1)))
41	40, 3	sylan 450	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ x < (A + 1)))
42	37, 41	bitr3d 532	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ A ∈ ℝ) → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) ↔ x < (A + 1)))
43	42	ancoms 438	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℤ) → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) ↔ x < (A + 1)))
44	43	anbi2d 618	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℤ) → ((A ≤ x ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ↔ (A ≤ x ⋀ x < (A + 1))))
45	44	reubidva 1782	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ⋀ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ⋀ x < (A + 1))))
46	1, 45	mpbid 195	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ⋀ x < (A + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃!wreu 1650   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   − cmin 5304   ≤ cle 5307  ℤcz 5310   < clt 5498

This theorem is referenced by:  rebtwnz 6224  qbtwnre 6279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain