Theorem zfcndpow 4980

Description: Axiom of Power Sets, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 2778.

Assertion

Ref	Expression
zfcndpow	⊢ ∃y∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 2778	. . . . 5 ⊢ ¬ ∀y y = z
2		exnal 1040	. . . . 5 ⊢ (∃y ¬ y = z ↔ ¬ ∀y y = z)
3	1, 2	mpbir 190	. . . 4 ⊢ ∃y ¬ y = z
4		hbe1 1018	. . . . 5 ⊢ (∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y) → ∀y∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
5		axpownd 4965	. . . . 5 ⊢ (¬ y = z → ∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
6	4, 5	19.23ai 1066	. . . 4 ⊢ (∃y ¬ y = z → ∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
7	3, 6	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y)
8		19.9v 1286	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x y ∈ z ↔ y ∈ z)
9		ax-17 973	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ x → ∀z y ∈ x)
10	9	19.3 1033	. . . . . . . 8 ⊢ (∀z y ∈ x ↔ y ∈ x)
11	8, 10	imbi12i 188	. . . . . . 7 ⊢ ((∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) ↔ (y ∈ z → y ∈ x))
12	11	albii 1001	. . . . . 6 ⊢ (∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ z → y ∈ x))
13	12	imbi1i 186	. . . . 5 ⊢ ((∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y) ↔ (∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
14	13	albii 1001	. . . 4 ⊢ (∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
15	14	exbii 1053	. . 3 ⊢ (∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
16	7, 15	mpbi 189	. 2 ⊢ ∃y∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y)
17		elequ1 1138	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (w ∈ z ↔ y ∈ z))
18		elequ1 1138	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
19	17, 18	imbi12d 628	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((w ∈ z → w ∈ x) ↔ (y ∈ z → y ∈ x)))
20	19	cbvalv 1316	. . . . 5 ⊢ (∀w(w ∈ z → w ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ z → y ∈ x))
21	20	imbi1i 186	. . . 4 ⊢ ((∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y) ↔ (∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
22	21	albii 1001	. . 3 ⊢ (∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
23	22	exbii 1053	. 2 ⊢ (∃y∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
24	16, 23	mpbir 190	1 ⊢ ∃y∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-15 1362  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-reg 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417

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