Theorem zfcndun 4979

Description: Axiom of Union, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 4960	. 2 ⊢ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y)
2		elequ2 1139	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (z ∈ w ↔ z ∈ y))
3		elequ1 1138	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
4	2, 3	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((z ∈ w ⋀ w ∈ x) ↔ (z ∈ y ⋀ y ∈ x)))
5	4	cbvexv 1317	. . . . 5 ⊢ (∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) ↔ ∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x))
6	5	imbi1i 186	. . . 4 ⊢ ((∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ (∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
7	6	albii 1001	. . 3 ⊢ (∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
8	7	exbii 1053	. 2 ⊢ (∃y∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ⋀ y ∈ x) → z ∈ y))
9	1, 8	mpbir 190	1 ⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ⋀ w ∈ x) → z ∈ y)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-eprel 2838  df-fr 2923

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