Theorem zfregfr 4610

Description: The epsilon relation is founded on any class.

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	⊢ E Fr A

Proof of Theorem zfregfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfepfr 2938	. 2 ⊢ (E Fr A ↔ ∀x((x ⊆ A ⋀ x ≠ ∅) → ∃y ∈ x (x ∩ y) = ∅))
2		visset 1816	. . . 4 ⊢ x ∈ V
3	2	zfreg2 4606	. . 3 ⊢ (x ≠ ∅ → ∃y ∈ x (x ∩ y) = ∅)
4	3	adantl 390	. 2 ⊢ ((x ⊆ A ⋀ x ≠ ∅) → ∃y ∈ x (x ∩ y) = ∅)
5	1, 4	mpgbir 990	1 ⊢ E Fr A

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ≠ wne 1588  ∃wrex 1649   ∩ cin 2049   ⊆ wss 2050  ∅c0 2283  Ecep 2836   Fr wfr 2921

This theorem is referenced by:  en2lp 4611  noinfep 4650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-reg 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-eprel 2838  df-fr 2923

Copyright terms: Public domain