Theorem zfrep4 2706

Description: A version of Replacement using class abstractions.

Hypotheses

Ref	Expression
zfrep4.1	⊢ {x∣φ} ∈ V
zfrep4.2	⊢ (φ → ∃z∀y(ψ → y = z))

Assertion

Ref	Expression
zfrep4	⊢ {y∣∃x(φ ⋀ ψ)} ∈ V

Distinct variable groups:   φ,y,z   ψ,z   x,y,z

Proof of Theorem zfrep4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abid 1468	. . . . 5 ⊢ (x ∈ {x∣φ} ↔ φ)
2	1	anbi1i 483	. . . 4 ⊢ ((x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ) ↔ (φ ⋀ ψ))
3	2	exbii 1053	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ) ↔ ∃x(φ ⋀ ψ))
4	3	abbii 1578	. 2 ⊢ {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} = {y∣∃x(φ ⋀ ψ)}
5		hbab1 1469	. . . . 5 ⊢ (y ∈ {x∣φ} → ∀x y ∈ {x∣φ})
6		zfrep4.1	. . . . 5 ⊢ {x∣φ} ∈ V
7		zfrep4.2	. . . . . 6 ⊢ (φ → ∃z∀y(ψ → y = z))
8	1, 7	sylbi 199	. . . . 5 ⊢ (x ∈ {x∣φ} → ∃z∀y(ψ → y = z))
9	5, 6, 8	zfrepclf 2704	. . . 4 ⊢ ∃z∀y(y ∈ z ↔ ∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ))
10		abeq2 1571	. . . . 5 ⊢ (z = {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} ↔ ∀y(y ∈ z ↔ ∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)))
11	10	exbii 1053	. . . 4 ⊢ (∃z z = {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} ↔ ∃z∀y(y ∈ z ↔ ∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)))
12	9, 11	mpbir 190	. . 3 ⊢ ∃z z = {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)}
13	12	issetri 1819	. 2 ⊢ {y∣∃x(x ∈ {x∣φ} ⋀ ψ)} ∈ V
14	4, 13	eqeltrr 1548	1 ⊢ {y∣∃x(φ ⋀ ψ)} ∈ V

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 956   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  {cab 1466  Vcvv 1814

This theorem is referenced by:  zfpair 2783

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815

Copyright terms: Public domain