New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  xpkvexg GIF version

Theorem xpkvexg 4285
 Description: The Kuratowski cross product of V with a set is a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpkvexg (A V → (V ×k A) V)

Proof of Theorem xpkvexg
Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpkeq2 4199 . . 3 (x = A → (V ×k x) = (V ×k A))
21eleq1d 2419 . 2 (x = A → ((V ×k x) V ↔ (V ×k A) V))
3 ax-xp 4079 . . 3 yz(z yab(z = ⟪a, b b x))
4 isset 2863 . . . 4 ((V ×k x) V ↔ y y = (V ×k x))
5 dfcleq 2347 . . . . . 6 (y = (V ×k x) ↔ z(z yz (V ×k x)))
6 elxpk 4196 . . . . . . . . 9 (z (V ×k x) ↔ ab(z = ⟪a, b (a V b x)))
7 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12 a V
87biantrur 492 . . . . . . . . . . 11 (b x ↔ (a V b x))
98anbi2i 675 . . . . . . . . . 10 ((z = ⟪a, b b x) ↔ (z = ⟪a, b (a V b x)))
1092exbii 1583 . . . . . . . . 9 (ab(z = ⟪a, b b x) ↔ ab(z = ⟪a, b (a V b x)))
116, 10bitr4i 243 . . . . . . . 8 (z (V ×k x) ↔ ab(z = ⟪a, b b x))
1211bibi2i 304 . . . . . . 7 ((z yz (V ×k x)) ↔ (z yab(z = ⟪a, b b x)))
1312albii 1566 . . . . . 6 (z(z yz (V ×k x)) ↔ z(z yab(z = ⟪a, b b x)))
145, 13bitri 240 . . . . 5 (y = (V ×k x) ↔ z(z yab(z = ⟪a, b b x)))
1514exbii 1582 . . . 4 (y y = (V ×k x) ↔ yz(z yab(z = ⟪a, b b x)))
164, 15bitri 240 . . 3 ((V ×k x) V ↔ yz(z yab(z = ⟪a, b b x)))
173, 16mpbir 200 . 2 (V ×k x) V
182, 17vtoclg 2914 1 (A V → (V ×k A) V)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  ⟪copk 4057   ×k cxpk 4174 This theorem is referenced by:  cnvkexg  4286  xpkexg  4288  ssetkex  4294 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-xpk 4185
 Copyright terms: Public domain W3C validator