Theorem mhcor1 888

Description: Corollary of Marsden-Herman Lemma.

Assertion

Ref	Expression
mhcor1	((((a ->1 b) ^ (b ->2 c)) ^ (c ->1 d)) ^ (d ->2 a)) = (((a == b) ^ (b == c)) ^ (c == d))

Proof of Theorem mhcor1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 76	. . 3 ((((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ (a ->1 b)) ^ (d ->2 a)) = (((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ ((a ->1 b) ^ (d ->2 a)))
2		imp3 841	. . . 4 ((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) = ((b' ^ c') v (c ^ d))
3		ancom 74	. . . . 5 ((a ->1 b) ^ (d ->2 a)) = ((d ->2 a) ^ (a ->1 b))
4		imp3 841	. . . . 5 ((d ->2 a) ^ (a ->1 b)) = ((d' ^ a') v (a ^ b))
5	3, 4	ax-r2 36	. . . 4 ((a ->1 b) ^ (d ->2 a)) = ((d' ^ a') v (a ^ b))
6	2, 5	2an 79	. . 3 (((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ ((a ->1 b) ^ (d ->2 a))) = (((b' ^ c') v (c ^ d)) ^ ((d' ^ a') v (a ^ b)))
7		leao3 164	. . . . . . . . 9 (c ^ d) =< (b v c)
8		oran 87	. . . . . . . . 9 (b v c) = (b' ^ c')'
9	7, 8	lbtr 139	. . . . . . . 8 (c ^ d) =< (b' ^ c')'
10	9	lecom 180	. . . . . . 7 (c ^ d) C (b' ^ c')'
11	10	comcom7 460	. . . . . 6 (c ^ d) C (b' ^ c')
12	11	comcom 453	. . . . 5 (b' ^ c') C (c ^ d)
13		leao2 163	. . . . . . . 8 (c ^ d) =< (d v a)
14		oran 87	. . . . . . . 8 (d v a) = (d' ^ a')'
15	13, 14	lbtr 139	. . . . . . 7 (c ^ d) =< (d' ^ a')'
16	15	lecom 180	. . . . . 6 (c ^ d) C (d' ^ a')'
17	16	comcom7 460	. . . . 5 (c ^ d) C (d' ^ a')
18		leao3 164	. . . . . . . . 9 (a ^ b) =< (d v a)
19	18, 14	lbtr 139	. . . . . . . 8 (a ^ b) =< (d' ^ a')'
20	19	lecom 180	. . . . . . 7 (a ^ b) C (d' ^ a')'
21	20	comcom7 460	. . . . . 6 (a ^ b) C (d' ^ a')
22	21	comcom 453	. . . . 5 (d' ^ a') C (a ^ b)
23		leao2 163	. . . . . . . 8 (a ^ b) =< (b v c)
24	23, 8	lbtr 139	. . . . . . 7 (a ^ b) =< (b' ^ c')'
25	24	lecom 180	. . . . . 6 (a ^ b) C (b' ^ c')'
26	25	comcom7 460	. . . . 5 (a ^ b) C (b' ^ c')
27	12, 17, 22, 26	mh2 884	. . . 4 (((b' ^ c') v (c ^ d)) ^ ((d' ^ a') v (a ^ b))) = ((((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) v (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b))))
28		ancom 74	. . . . . . . 8 ((c' ^ d') ^ (a' ^ b')) = ((a' ^ b') ^ (c' ^ d'))
29		ancom 74	. . . . . . . . . 10 (b' ^ c') = (c' ^ b')
30	29	ran 78	. . . . . . . . 9 ((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) = ((c' ^ b') ^ (d' ^ a'))
31		an4 86	. . . . . . . . 9 ((c' ^ b') ^ (d' ^ a')) = ((c' ^ d') ^ (b' ^ a'))
32		ancom 74	. . . . . . . . . 10 (b' ^ a') = (a' ^ b')
33	32	lan 77	. . . . . . . . 9 ((c' ^ d') ^ (b' ^ a')) = ((c' ^ d') ^ (a' ^ b'))
34	30, 31, 33	3tr 65	. . . . . . . 8 ((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) = ((c' ^ d') ^ (a' ^ b'))
35		anass 76	. . . . . . . 8 (((a' ^ b') ^ c') ^ d') = ((a' ^ b') ^ (c' ^ d'))
36	28, 34, 35	3tr1 63	. . . . . . 7 ((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) = (((a' ^ b') ^ c') ^ d')
37		ancom 74	. . . . . . . 8 ((b' ^ c') ^ (a ^ b)) = ((a ^ b) ^ (b' ^ c'))
38		anass 76	. . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ (b' ^ c')) = (a ^ (b ^ (b' ^ c')))
39		dff 101	. . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b')
40	39	ran 78	. . . . . . . . . . . 12 (0 ^ c') = ((b ^ b') ^ c')
41	40	ax-r1 35	. . . . . . . . . . 11 ((b ^ b') ^ c') = (0 ^ c')
42		anass 76	. . . . . . . . . . 11 ((b ^ b') ^ c') = (b ^ (b' ^ c'))
43		an0r 109	. . . . . . . . . . 11 (0 ^ c') = 0
44	41, 42, 43	3tr2 64	. . . . . . . . . 10 (b ^ (b' ^ c')) = 0
45	44	lan 77	. . . . . . . . 9 (a ^ (b ^ (b' ^ c'))) = (a ^ 0)
46		an0 108	. . . . . . . . 9 (a ^ 0) = 0
47	45, 46	ax-r2 36	. . . . . . . 8 (a ^ (b ^ (b' ^ c'))) = 0
48	37, 38, 47	3tr 65	. . . . . . 7 ((b' ^ c') ^ (a ^ b)) = 0
49	36, 48	2or 72	. . . . . 6 (((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) = ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v 0)
50		or0 102	. . . . . 6 ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v 0) = (((a' ^ b') ^ c') ^ d')
51	49, 50	ax-r2 36	. . . . 5 (((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) = (((a' ^ b') ^ c') ^ d')
52		anass 76	. . . . . . . 8 ((c ^ d) ^ (d' ^ a')) = (c ^ (d ^ (d' ^ a')))
53		anass 76	. . . . . . . . . . 11 ((d ^ d') ^ a') = (d ^ (d' ^ a'))
54	53	ax-r1 35	. . . . . . . . . 10 (d ^ (d' ^ a')) = ((d ^ d') ^ a')
55		an0r 109	. . . . . . . . . . . . 13 (0 ^ a') = 0
56	55	ax-r1 35	. . . . . . . . . . . 12 0 = (0 ^ a')
57		dff 101	. . . . . . . . . . . . 13 0 = (d ^ d')
58	57	ran 78	. . . . . . . . . . . 12 (0 ^ a') = ((d ^ d') ^ a')
59	56, 58	ax-r2 36	. . . . . . . . . . 11 0 = ((d ^ d') ^ a')
60	59	ax-r1 35	. . . . . . . . . 10 ((d ^ d') ^ a') = 0
61	54, 60	ax-r2 36	. . . . . . . . 9 (d ^ (d' ^ a')) = 0
62	61	lan 77	. . . . . . . 8 (c ^ (d ^ (d' ^ a'))) = (c ^ 0)
63		an0 108	. . . . . . . 8 (c ^ 0) = 0
64	52, 62, 63	3tr 65	. . . . . . 7 ((c ^ d) ^ (d' ^ a')) = 0
65		ancom 74	. . . . . . . 8 ((c ^ d) ^ (a ^ b)) = ((a ^ b) ^ (c ^ d))
66		anass 76	. . . . . . . . 9 (((a ^ b) ^ c) ^ d) = ((a ^ b) ^ (c ^ d))
67	66	ax-r1 35	. . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ (c ^ d)) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
68	65, 67	ax-r2 36	. . . . . . 7 ((c ^ d) ^ (a ^ b)) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
69	64, 68	2or 72	. . . . . 6 (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b))) = (0 v (((a ^ b) ^ c) ^ d))
70		or0r 103	. . . . . 6 (0 v (((a ^ b) ^ c) ^ d)) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
71	69, 70	ax-r2 36	. . . . 5 (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b))) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
72	51, 71	2or 72	. . . 4 ((((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) v (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b)))) = ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v (((a ^ b) ^ c) ^ d))
73		ax-a2 31	. . . 4 ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v (((a ^ b) ^ c) ^ d)) = ((((a ^ b) ^ c) ^ d) v (((a' ^ b') ^ c') ^ d'))
74	27, 72, 73	3tr 65	. . 3 (((b' ^ c') v (c ^ d)) ^ ((d' ^ a') v (a ^ b))) = ((((a ^ b) ^ c) ^ d) v (((a' ^ b') ^ c') ^ d'))
75	1, 6, 74	3tr 65	. 2 ((((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ (a ->1 b)) ^ (d ->2 a)) = ((((a ^ b) ^ c) ^ d) v ((