Theorem ud3lem1c 568

Description: Lemma for unified disjunction.

Assertion

Ref	Expression
ud3lem1c	((a ->3 b)' v (b ->3 a)) = (a v b')

Proof of Theorem ud3lem1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ud3lem0c 279	. . 3 (a ->3 b)' = (((a v b') ^ (a v b)) ^ (a' v (a ^ b')))
2		df-i3 46	. . 3 (b ->3 a) = (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))
3	1, 2	2or 72	. 2 ((a ->3 b)' v (b ->3 a)) = ((((a v b') ^ (a v b)) ^ (a' v (a ^ b'))) v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a))))
4		coman2 186	. . . . . . . . 9 (b' ^ a) C a
5		coman1 185	. . . . . . . . 9 (b' ^ a) C b'
6	4, 5	com2or 483	. . . . . . . 8 (b' ^ a) C (a v b')
7	5	comcom7 460	. . . . . . . . 9 (b' ^ a) C b
8	4, 7	com2or 483	. . . . . . . 8 (b' ^ a) C (a v b)
9	6, 8	com2an 484	. . . . . . 7 (b' ^ a) C ((a v b') ^ (a v b))
10	9	comcom 453	. . . . . 6 ((a v b') ^ (a v b)) C (b' ^ a)
11		coman2 186	. . . . . . . . . 10 (b' ^ a') C a'
12	11	comcom7 460	. . . . . . . . 9 (b' ^ a') C a
13		coman1 185	. . . . . . . . 9 (b' ^ a') C b'
14	12, 13	com2or 483	. . . . . . . 8 (b' ^ a') C (a v b')
15	13	comcom7 460	. . . . . . . . 9 (b' ^ a') C b
16	12, 15	com2or 483	. . . . . . . 8 (b' ^ a') C (a v b)
17	14, 16	com2an 484	. . . . . . 7 (b' ^ a') C ((a v b') ^ (a v b))
18	17	comcom 453	. . . . . 6 ((a v b') ^ (a v b)) C (b' ^ a')
19	10, 18	com2or 483	. . . . 5 ((a v b') ^ (a v b)) C ((b' ^ a) v (b' ^ a'))
20		comorr2 463	. . . . . . . . 9 b' C (a v b')
21	20	comcom6 459	. . . . . . . 8 b C (a v b')
22		comorr2 463	. . . . . . . 8 b C (a v b)
23	21, 22	com2an 484	. . . . . . 7 b C ((a v b') ^ (a v b))
24	23	comcom 453	. . . . . 6 ((a v b') ^ (a v b)) C b
25		comor2 462	. . . . . . . . 9 (b' v a) C a
26		comor1 461	. . . . . . . . 9 (b' v a) C b'
27	25, 26	com2or 483	. . . . . . . 8 (b' v a) C (a v b')
28	26	comcom7 460	. . . . . . . . 9 (b' v a) C b
29	25, 28	com2or 483	. . . . . . . 8 (b' v a) C (a v b)
30	27, 29	com2an 484	. . . . . . 7 (b' v a) C ((a v b') ^ (a v b))
31	30	comcom 453	. . . . . 6 ((a v b') ^ (a v b)) C (b' v a)
32	24, 31	com2an 484	. . . . 5 ((a v b') ^ (a v b)) C (b ^ (b' v a))
33	19, 32	com2or 483	. . . 4 ((a v b') ^ (a v b)) C (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))
34		comorr 184	. . . . . . . 8 a C (a v b')
35	34	comcom3 454	. . . . . . 7 a' C (a v b')
36		comorr 184	. . . . . . . 8 a C (a v b)
37	36	comcom3 454	. . . . . . 7 a' C (a v b)
38	35, 37	com2an 484	. . . . . 6 a' C ((a v b') ^ (a v b))
39	38	comcom 453	. . . . 5 ((a v b') ^ (a v b)) C a'
40		coman1 185	. . . . . . . 8 (a ^ b') C a
41		coman2 186	. . . . . . . 8 (a ^ b') C b'
42	40, 41	com2or 483	. . . . . . 7 (a ^ b') C (a v b')
43	41	comcom7 460	. . . . . . . 8 (a ^ b') C b
44	40, 43	com2or 483	. . . . . . 7 (a ^ b') C (a v b)
45	42, 44	com2an 484	. . . . . 6 (a ^ b') C ((a v b') ^ (a v b))
46	45	comcom 453	. . . . 5 ((a v b') ^ (a v b)) C (a ^ b')
47	39, 46	com2or 483	. . . 4 ((a v b') ^ (a v b)) C (a' v (a ^ b'))
48	33, 47	fh4r 476	. . 3 ((((a v b') ^ (a v b)) ^ (a' v (a ^ b'))) v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))) = ((((a v b') ^ (a v b)) v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))) ^ ((a' v (a ^ b')) v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))))
49		comor2 462	. . . . . . . . . 10 (a v b') C b'
50		comor1 461	. . . . . . . . . 10 (a v b') C a
51	49, 50	com2an 484	. . . . . . . . 9 (a v b') C (b' ^ a)
52	50	comcom2 183	. . . . . . . . . 10 (a v b') C a'
53	49, 52	com2an 484	. . . . . . . . 9 (a v b') C (b' ^ a')
54	51, 53	com2or 483	. . . . . . . 8 (a v b') C ((b' ^ a) v (b' ^ a'))
55	49	comcom7 460	. . . . . . . . 9 (a v b') C b
56	49, 50	com2or 483	. . . . . . . . 9 (a v b') C (b' v a)
57	55, 56	com2an 484	. . . . . . . 8 (a v b') C (b ^ (b' v a))
58	54, 57	com2or 483	. . . . . . 7 (a v b') C (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))
59	50, 55	com2or 483	. . . . . . 7 (a v b') C (a v b)
60	58, 59	fh4r 476	. . . . . 6 (((a v b') ^ (a v b)) v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))) = (((a v b') v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))) ^ ((a v b) v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))))
61		ax-a2 31	. . . . . . . . 9 ((a v b') v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))) = ((((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a))) v (a v b'))
62		lea 160	. . . . . . . . . . . . 13 (b' ^ a) =< b'
63		lea 160	. . . . . . . . . . . . 13 (b' ^ a') =< b'
64	62, 63	lel2or 170	. . . . . . . . . . . 12 ((b' ^ a) v (b' ^ a')) =< b'
65		leor 159	. . . . . . . . . . . 12 b' =< (a v b')
66	64, 65	letr 137	. . . . . . . . . . 11 ((b' ^ a) v (b' ^ a')) =< (a v b')
67		lear 161	. . . . . . . . . . . 12 (b ^ (b' v a)) =< (b' v a)
68		ax-a2 31	. . . . . . . . . . . 12 (b' v a) = (a v b')
69	67, 68	lbtr 139	. . . . . . . . . . 11 (b ^ (b' v a)) =< (a v b')
70	66, 69	lel2or 170	. . . . . . . . . 10 (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a))) =< (a v b')
71	70	df-le2 131	. . . . . . . . 9 ((((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a))) v (a v b')) = (a v b')
72	61, 71	ax-r2 36	. . . . . . . 8 ((a v b') v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))) = (a v b')
73		or12 80	. . . . . . . . 9 ((a v b) v (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (b ^ (b' v a)))) = (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v ((a v b) v (b ^ (b' v a))))
74		ax-a3 32	. . . . . . . . . . 11 ((((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (a v b)) v (b ^ (b' v a))) = (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v ((a v b) v (b ^ (b' v a))))
75	74	ax-r1 35	. . . . . . . . . 10 (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v ((a v b) v (b ^ (b' v a)))) = ((((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (a v b)) v (b ^ (b' v a)))
76		ax-a3 32	. . . . . . . . . . . . 13 (((b' ^ a) v (b' ^ a')) v (a v b)) = ((b' ^ a) v ((b' ^ a') v (a v b)))
77		ancom 74	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 (b' ^ a') = (a' ^ b')
78		oran 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 (a v b) = (a' ^ b')'
79	77, 78	2or 72	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ((b' ^ a') v (a v b)) = ((a' ^ b') v (a' ^ b')')
80		df-t 41	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = ((a' ^ b') v (a' ^ b')')
81	80	ax-r1 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a' ^ b') v (a' ^ b')') = 1
82	79, 81	ax-r2 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 ((b' ^ a') v (a v b)) = 1
83	82	lor 70	. . . . . . . . . . . . . 14 ((b' ^ a) v ((b' ^ a') v (a v